各种理科主题的科普、讨论、闲聊、灌水、钓鱼、发疯等等都行！
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先来个益智小问题
给定一个圆和一条直径，但不给圆心，能否仅用无刻度直尺作图找出其圆心？
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东边钓不到，来西边钓是吧
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你说的对但是教我拓扑
拓扑学不了一点 
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来个有点难度的，证明:
\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^4+25x^2+160}}=\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^4-95x^2+2560}}
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I is fish
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！
好久不见
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前排顶帖，最优化学不了一点
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小度好久不见 
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解答：
令
z=\frac{x^5+40x^3+320x}{x^4+20x^2+80}
则有
\frac{\mathrm dz}{\sqrt{z^4-95z^2+2560}}=\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^4+25x^2+160}}
然后积一下就好了
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这下出口转内销了
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非常好理科水楼
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我不知道！！！
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存在不能被任何图灵机 (Turing machine) 计算的函数 UC:\{0,1\}^*\to\{0,1\} .
函数 UC 如下定义：
\forall \alpha\in\{0,1\}^*,
UC(\alpha)=
\begin{cases}
0,M_\alpha(\alpha)=1;\\
1,\text{otherwise}.
\end{cases}
证明：假设函数 UC 可被图灵机计算，则存在图灵机 M 使得
M(\alpha)\equiv UC(\alpha), \forall \alpha\in\{0,1\}^*
所以有 M(\lfloor M\rfloor)=UC(\lfloor M\rfloor) .这与定义矛盾。
注： \{0,1\}^* 为 0 和 1 组成的字符串， M_\alpha 为以二进制字符串 \alpha 表示的图灵机（数据和指令等价）， \lfloor M\rfloor 为图灵机 M 的二进制字符串表示
这个函数的构造方式有点像理发师悖论
来源：COMPUTATIONAL COMPLEXITY A Modern Approach
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怎么没人水，那我多水几个
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相信大家都在信号与系统中学过 Parseval 方程：
(f,f)=\sum_{i=1}^\infty{\left|c_i\right|^2},\forall f\in\mathscr{H}.
其中 \mathscr{H} 为全体定义在 [a,b] 上复值平方可积的函数构成的线性空间。
课本的证明是最容易想到、最直观的证明：
(f,f)=\Bigl(\sum_{i=1}^\infty{c_if_i},\sum_{i=1}^\infty{c_if_i}\Bigr)=\sum_{i=1}^\infty{\left|c_i\right|^2}.
该证明看似简洁，其实并不正确。正交归一函数集 \{f_i\} 的完备性不能保证逐点收敛，所得函数和原函数可能相差一个广义零函数，因此第一个等号不成立。从完备性直接得到的是由积分定义的平均收敛。正确的证明如下：
\begin{align*}
&\int_a^b{\Bigl|f(x)-\sum_{i=1}^{n}{c_if_i(x)}\Bigr|^2\rho(x)\mathrm{d}x}\\
=&(f,f)-\sum_{i=1}^{n}{c_i^*(f_i,f)}-\sum_{i=1}^{n}{c_i(f,f_i)}+\sum_{i=1}^{n}{|c_i|^2}\\
=&(f,f)-\sum_{i=1}^{n}{|c_i|^2}.
\end{align*}
由基函数 \{f_i\} 的完备性得，
\lim_{n\to\infty}\int_a^b{\Bigl|f(x)-\sum_{i=1}^{n}{c_if_i(x)}\Bigr|^2\rho(x)\mathrm{d}x}=0,\\
i.e.(f,f)=\sum_{i=1}^\infty{\left|c_i\right|^2}.
该方程还有更一般的形式：
(f,g)=\sum_{i=1}^\infty{(f,f_i)(f_i,g)},\forall f,g\in\mathscr{H}.
证明如下：
\begin{align*}
f(x)&=\sum_{i=1}^\infty{c_if_i(x)}=\sum_{i=1}^\infty{\Bigl[\int_a^b{f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')\mathrm{d}x'}\Bigr]f_i(x)}
\\&=\int_a^b{\Bigl[\sum_{i=1}^\infty{f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')}\Bigr]f(x')\mathrm{d}x'}
\\&=\int_a^b{\delta(x'-x)\mathrm{d}x'}\\
&\Rightarrow\sum_{i=1}^\infty{f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')}=\delta(x-x'),a\leqslant x,x'\leqslant b.\\
(f,g)&=\int_a^b{f^*(x)g(x)\rho(x)\mathrm{d}x}\\
&=\int_a^b{\Bigl[\int_a^b{f^*(x)g(x')\rho(x)\delta(x-x')\mathrm{d}x'}\Bigr]\mathrm{d}x}\\
&=\sum_{i=1}^\infty{\int_a^b{\Bigl[\int_a^b{f^*(x)f_i(x)f_i^*(x')\rho(x')g(x')\rho(x)\mathrm{d}x'}\Bigr]\mathrm{d}x}}\\
&=\sum_{i=1}^\infty{\int_a^b{f^*(x)f_i(x)\rho(x)\mathrm{d}x}\int_a^b{f_i^*(x')g(x')\rho(x')\mathrm{d}x'}}\\
&=\sum_{i=1}^\infty{(f,f_i)(f_i,g)}.
\end{align*}
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超，你什么时候改行搞数学了
这里的 \rho 是什么
我也来写点
\rho(x) 是定义在 [a,b] 上不恒为零的非负实函数，在线性空间 \mathscr{H} 的内积定义中用作权函数。 \rho(x)\equiv 1 是一种常见的特殊情况。
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