cost 计算和面的二次误差矩阵初始化问题

学术专区 计算机图形学
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有两个问题：
1.文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？
2.在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？
同时，这样子去计算最佳坍缩位置是否正确：

Eigen::JacobiSVD<Eigen::Matrix4f> svd(K, Eigen::ComputeFullV); // 解 Kx = 0
    Vector4f x_best = svd.matrixV().col(3); // 取最后一列
    x_best.normalize(); // 归一化
    optimal_pos = x_best.segment(0,3); // 前三位就是所需坐标
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同学，虽然你提问的格式很工整，但就你的问题内容而言我认为你是没有认真看实验文档的，以后还请注意。

文档中说根据误差矩阵可以计算得到误差 cost，但是 cost 的类型是 float，如何从一个四乘四的矩阵计算出它对应的误差呢？

如果你看得太快了，那么产生这个问题也不奇怪。在解释 QEM 简化的近似思路时，实验文档中一直强调该算法是根据 坍缩后的点到坍缩前网格的距离 来评判坍缩结果好坏的。

在问题 3.2 的回答中，我们明确提到该算法是用这个距离作为误差的，而给出式 3.2 之前，我们也说明了算法中使用距离的平方比有向距离更好。因此，计算单个面片误差估计值的公式就是式 3.2，即使用最优点 \mathbf{x} 和二次误差矩阵 K 求距离平方：

\text{cost}=(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2=\mathbf{u}^T(\mathbf{v}\mathbf{v}^T)\mathbf{u}=\mathbf{u}^TK_f\mathbf{u}

而根据矩阵乘法的分配率，将若干 K_f 累加所得的边误差矩阵 K 代入上式，结果与分别将每个 K_f 代入后求和相同。所以式 3.2 同样适用于计算边坍缩误差估计值，在 3.2.2 节末尾已经说得很明确了。

在对每个面片进行初始化时，计算他的二次误差矩阵需要用到坍缩后的点的坐标 x，但此时还没有计算出对应边的 K，更解不出 x，应该怎么办呢？

这里你应该是完全理解错了计算面片 K_f 的过程。文档中的原话是：“对任意的点 \mathbf{x} ，一个恒定的系数矩阵 K_f 决定了 \mathbf{x} 到这个平面的距离”，因此 K_f 这个矩阵只要知道面片的法向量 \mathbf{N} 就能根据式 3.1 和 3.2 求出来。

你求最佳位置的代码也是不对的。首先这里 K 是一个四维方阵，但你要求解的方程组中并没有四个线性无关的未知数（齐次坐标形式下，点的最后一维应当是 1），因此你应该将系数矩阵 K 改写成一个三阶而非四阶的线性方程组来求解。如果像你这样直接求解四阶方程组，最后又调用 normaliz 将四维解向量归一化，那么最后一维一定不是 1，此时直接取前三维得到的就不是三维空间中的坐标。

另外，因为矩阵 K 必定是对称正定矩阵，你完全没有必要用 SVD 分解来求解方程组，随便用一种能解方程组的方法就够了。